Question

13．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=5，
（1）求|$\overrightarrow{AC}$|；
（2）求cos∠DAC．

Answer 1

分析 （1）根据向量的加法几何意义得出$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$，得出$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AD}$=1，运用数量积得出cos∠DAB=$\frac{1}{2}$，即可求解角，再求解$\overrightarrow{AC}$|²=（$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{AB}$）²=1+4+2×2×1×cos60°=7，即可得出|$\overrightarrow{AC}$|
（2）在△ADC中，AD=1，AC=$\sqrt{7}$，DC=2，运用余弦定理求解即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$，
∵AB=2，AD=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=5，
∴$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AD}$）=5，
4+$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AD}$=5，
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AD}$=1，
∵|$\overrightarrow{AB}$|$•|\overrightarrow{AD}|$COS∠DAB=1，
∴cos∠DAB=$\frac{1}{2}$，
∴∠DAB=60°，
∴|$\overrightarrow{AC}$|²=（$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{AB}$）²=1+4+2×2×1×cos60°=7，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{7}$．
（2）在△ADC中，AD=1，AC=$\sqrt{7}$，DC=2，
根据余弦定理得出：cos∠DAC=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-D{C}^{2}}{2AD•AC}$=$\frac{1+7-4}{2×1×\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$

点评 本题综合考察了平面向量的运算，几何意义，三角形中的定理，考察了学生的计算能力，运用图形的能力．