Question

3．如图，AB是半径为r的半圆形广场的直径，在AB的延长线上一点P处，有一停车场，且BP=r，D为半圆上（靠近停车场一侧）的一点，在点D和P之间修建一条折线形道路DEP，已知DE∥BP，并且DE的长等于点D到AB距离DH的一半，设∠BOD=θ（O为半圆的圆心），f（θ）=$\frac{HP}{DE}$．
（1）求函数f（θ）的解析式；
（2）求f（θ）的最小值及对应的θ值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得HD=rsinθ，OH=rcosθ，从而可得HP=2r-rcosθ，DE=$\frac{1}{2}$HD=$\frac{1}{2}$rsinθ，从而化简f（θ）=$\frac{HP}{DE}$=$\frac{2r-rcosθ}{\frac{1}{2}rsinθ}$=$\frac{4-2cosθ}{sinθ}$（0＜θ≤$\frac{π}{2}$）；
（2）求导f′（θ）=$\frac{2sinθsinθ-（4-2cosθ）cosθ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{2-4cosθ}{si{n}^{2}θ}$；从而由导数判断函数的单调性再求最小值及最小值点．

解答 解：（1）由题意得，
HD=rsinθ，OH=rcosθ；
故HP=2r-rcosθ，DE=$\frac{1}{2}$HD=$\frac{1}{2}$rsinθ，
故f（θ）=$\frac{HP}{DE}$=$\frac{2r-rcosθ}{\frac{1}{2}rsinθ}$=$\frac{4-2cosθ}{sinθ}$（0＜θ≤$\frac{π}{2}$）；
（2）∵f（θ）=$\frac{4-2cosθ}{sinθ}$，
∴f′（θ）=$\frac{2sinθsinθ-（4-2cosθ）cosθ}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{2-4cosθ}{si{n}^{2}θ}$；
∴当θ∈（0，$\frac{π}{3}$）时，f′（θ）＜0，
当θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]时，f′（θ）＞0；
故f（θ）=$\frac{4-2cosθ}{sinθ}$在（0，$\frac{π}{3}$）上单调递减，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增；
故当θ=$\frac{π}{3}$时，f（θ）取得最小值f（$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用，同时考查了三角函数的应用，属于中档题．