Question

15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中b=5，c=3且满足sin²2A-sin2AsinA+cos2A=1．求：
（1）cos（B-C）的值；     
（2）O为△ABC的外心，若$\overrightarrow{OA}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，求m+n的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的倍角公式进行化简，结合正弦定理和两角和差的余弦公式即可cos（B-C）的值；     
（2）建立平面坐标系，求出外接圆的圆心坐标，利用向量的基本定理建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）由sin²2A-sin2AsinA+cos2A=1得：
sin²2A-sin2AsinA+1-2sin²A=1，
 即sin²2A-sin2AsinA-2sin²A=0，
即（sin2A+sinA）（sin2A-2sinA）=0
即（2sinAcosA+sinA）（2sinAcosA-2sinA）=0，
∴（2cosA+1）（2cosA-2）=0，
解得cosA=$-\frac{1}{2}$或cosA=1（舍），
∴A=$\frac{2π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=25+9-2×5×3×$（-\frac{1}{2}）$=49，则a=7，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得$sinB=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
则cosB=$\frac{11}{14}$，cosC=$\frac{13}{14}$，
则cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=$\frac{11}{14}$×$\frac{13}{14}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{47}{49}$．
（2）建立直角坐标系得A（0，0），B（5，0），C（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
则AB的中垂线为x=$\frac{5}{2}$，即O的横坐标为$\frac{5}{2}$，
AC的斜率k=-$\sqrt{3}$，AC的中点F（$-\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
则AC的中垂线的斜率k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，中垂线方程为y-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\frac{3}{4}$），
令x=$\frac{5}{2}$，解得y=$\frac{11\sqrt{3}}{6}$，
即O（$\frac{5}{2}$，$\frac{11\sqrt{3}}{6}$）                          
由$\overrightarrow{OA}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，得（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{11\sqrt{3}}{6}$）=m（5，0）+n（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
即$\left\{\begin{array}{l}{5m-\frac{3}{2}n=-\frac{5}{2}}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}n=-\frac{11\sqrt{3}}{6}}\end{array}\right.$，解得m=$-\frac{2}{3}$，n=$-\frac{11}{9}$，
则m+n=$-\frac{2}{3}$$-\frac{11}{9}$=-$\frac{17}{9}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用以及平面向量的基本定理的应用，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．