Question

10．在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知acosB=bcosA，cosC=$\frac{3}{4}$．
（1）若a+c=2+$\sqrt{2}$，求△ABC的面积；
（2）设△ABC的周长为L，面积为S，求y=L-$\frac{4\sqrt{7}}{7}$S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式，求出A=B，即可得到结论．
（2）求出三角形的周长和面积，以及函数y的表达式，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，
即sinAcosB-sinBcosA=sin（A-B）=0，
则A=B．即a=b，
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{2{a}^{2}-{c}^{2}}{2{a}^{2}}=1-\frac{{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，则a=b=$\sqrt{2}c$，
∵a+c=2+$\sqrt{2}$，∴$\sqrt{2}c$+c=2+$\sqrt{2}$，
解得c=1，a=b=$\sqrt{2}$，
∵cosC=$\frac{3}{4}$．
∴sinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，则三角形的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（2）由（1）知a=b=$\sqrt{2}c$，sinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴L=a+b+c=$\sqrt{2}c$+$\sqrt{2}c$+c=（2$\sqrt{2}$+1）c，
S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}c•\sqrt{2}c$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$c²，
则y=L-$\frac{4\sqrt{7}}{7}$S=（2$\sqrt{2}$+1）c-$\frac{4\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$c²=（2$\sqrt{2}$+1）c-c²
=-[c²-（2$\sqrt{2}$+1）c]=-（c-$\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$）²+（$\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$）²，
∴当c=$\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$时，
函数y取得最大值为（$\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$）²=$\frac{9+4\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理和两角和差的正弦公式的应用，以及三角形面积的计算，根据一元二次函数的性质是解决本题的关键．