Question

7．已知0＜φ＜π，且满足sin（φ+$\frac{π}{4}$）=sin（φ-$\frac{π}{4}$），设函数f（x）=sin（2x+$\frac{φ}{2}$）．
（1）求φ的值；
（2）设0＜α＜$\frac{π}{2}$，且cosα=$\frac{3}{5}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）由两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得$cosφsin\frac{π}{4}=0$，又结合范围0＜φ＜π，即可求得φ的值；
（2）由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，利用倍角公式可求sin2α，cos2α的值，由（1）得$f（α）=sin（2α+\frac{π}{4}）$=$sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{sin2α+cos2α}）$，即可得解．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）由已知得$sinφcos\frac{π}{4}+cosφsin\frac{π}{4}=sinφcos\frac{π}{4}-cosφsin\frac{π}{4}$…（4分）
化简得$cosφsin\frac{π}{4}=0$，即cosφ=0，…（5分）
又0＜φ＜π，所以$φ=\frac{π}{2}$．…（6分）
（2）因为$0＜α＜\frac{π}{2}$，$cosα=\frac{3}{5}$，
所以$sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\sqrt{1-{{（{\frac{3}{5}}）}^2}}=\frac{4}{5}$，…（8分）
由（1）得$f（x）=sin（2x+\frac{π}{4}）$，…（9分）
所以$f（α）=sin（2α+\frac{π}{4}）$=$sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{sin2α+cos2α}）$…（11分）
因为$sin2α=2sinαcosα=2×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$，…（12分）
$cos2α=2{cos^2}α-1=2×{（{\frac{3}{5}}）^2}-1=-\frac{7}{25}$，…（13分）
所以$f（α）=\frac{{17\sqrt{2}}}{50}$…（14分）

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数，同角三角函数基本关系的运用，倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．