Question

15．已知数列{a_n}是首项为2的等差数列，其前n项和S_n满足4S_n=a_n•a_n+1，数列{b_n}是以$\frac{1}{2}$为首项的等比数列，且log₂b₁+log₂b₂+log₂b₃=-6
（Ⅰ）求数列{a_n}．{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和T_n，若对任意n∈N^*不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≥$\frac{1}{4}$λ-$\frac{1}{2}$T_n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”可得$\frac{1}{{S}_{1}}$，利用等比数列的前n项和公式可得T_n，利用数列的单调性即可得出

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得，?4a₁=a₁（a₁+d），解得d=2，
∴a_n=2n，
由log₂b₁+log₂b₂+log₂b₃=-6，
得出b₁b₂b₃=b₂³=$\frac{1}{64}$，
b₂=$\frac{1}{4}$，
∵b₁=$\frac{1}{2}$，
从而公比q=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$，
又T_n=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≥$\frac{1}{4}$λ-$\frac{1}{2}$T_n，
即1$-\frac{1}{n+1}$$≥\frac{1}{4}$λ$-\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}}$$≥\frac{1}{4}$λ，
∵g（n）=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}}$对n∈N^*递增，
∴g（n）_min=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴只需要$\frac{3}{4}$$≥\frac{1}{4}$λ．即λ的取值范围为（-∞，3]．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题