Question

5．设函数f（x）=ax-sinx，x∈[0，π]．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≤1-cosx恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，x∈[0，π]，从而求导f′（x）=$\frac{1}{2}$-cosx，从而判断函数的单调性；
（2）化简可得ax-sinx≤1-cosx，作函数y=ax-1与函数y=sinx-cosx的图象，结合图象求解即可．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，x∈[0，π]，
f′（x）=$\frac{1}{2}$-cosx，
故x∈[0，$\frac{π}{3}$）时，f′（x）＜0，x∈（$\frac{π}{3}$，π]时，f′（x）＞0；
故f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）上是减函数，在[$\frac{π}{3}$，π]上是增函数；
（2）由题意得，
ax-sinx≤1-cosx，
故ax-1≤sinx-cosx，
作函数y=ax-1与函数y=sinx-cosx的图象如图，
结合图象可得，
a≤$\frac{1-（-1）}{π-0}$=$\frac{2}{π}$；
故实数a的取值范围为（-∞，$\frac{2}{π}$]．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．