Question

10．已知$f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=\frac{lnx}{x}$，其中e是自然常数，a∈R
（Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值；
 （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．
（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．

解答 解：（1）a=1时，因为f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，所以当0＜x＜e时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=$\frac{1}{e}$，
所以f（x）_min-g（x）_max＞$\frac{1}{2}$，
所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．