Question

20．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求a+b的最小值．

解答 解：由z=abx+y（a＞0，b＞0）得y=-abx+z，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-abx+z的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-abx+z，由图象可知当y=-abx+z经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（4，5）．
此时z=4ab+5=8，
即ab=$\frac{3}{4}$，
则a+b$≥2\sqrt{ab}$=2$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\sqrt{3}$，
当且仅当a=b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取=号，
故最小值为$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．