Question

12．若函数f（x）=|a^x+x²-xlna-m|-3（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围（　　）

• A． （-2，4）
• B． （-4，2）
• C． （-1，3）
• D． （-3，1）

Answer 1

分析 令g（x）=a^x+x²-x•lna，先讨论a＞1，0＜a＜1求出单调区间，进而判断函数g（x）的极小值，再由y=|g（x）-m|-3有两个零点，所以方程g（x）=m±3有2个根，而m+3＞m-3，所以m+3＞1且m-3＜1，即可得到m的取值范围．

解答 解：令g（x）=a^x+x²-x•lna，
g′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①当a＞1，x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，则g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为x∈（-∞，0）时，lna＞0，a^x-1＜0，
所以g′（x）＜0，
即函数g（x）在（-∞，0）上单调递减；
②因为当0＜a＜1时，x＞0，lna＜0，a^x-1＜0，
所以g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为当x∈（-∞，0）时，lna＜0，a^x-1＞0，
所以g′（x）＜0，
即函数g（x）在（-∞，0）上单调递减．
故：当a＞0且a≠1时，g（x）在x＜0时递减；g（x）在x＞0时递增，
则x=0为g（x）的极小值点，且为最小值点，且最小值g（0）=1．
又函数f（x）=|g（x）-m|-3有两个零点，所以方程g（x）=m±3有二个根，
而m+3＞m-3，所以m+3＞1且m-3＜1，
解得m∈（-2，4）．
故选A．

点评 本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．