Question

9．已知函数f（x）的定义域为（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且当-1＜x＜0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=1，f（$\frac{a-b}{1-ab}$）=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值；
（3）若f（-$\frac{4}{5}$）=1，求f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]上的值域．

Answer 1

分析 解：（1）令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），从而解得f（0）=0；再令y=-x∈（-1，1）即可；
（2）由题意得$\left\{\begin{array}{l}f（a）+f（b）=1\\ f（a）+f（-b）=1\end{array}\right.$，从而可得$\left\{\begin{array}{l}f（a）+f（b）=1\\ f（a）-f（b）=1\end{array}\right.$；从而解得；
（3）可得$f（\frac{4}{5}）=-1$，从而可得$f（{\frac{1}{2}}）=-\frac{1}{2}$；由定义法可判断f（x）在区间（-1，1）内为减函数；从而求值域即可．

解答 解：（1）∵$f（x）+f（y）=f（\frac{x+y}{1+xy}）$①，
∴由①式令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
由①式令y=-x∈（-1，1），得f（x）+f（-x）=f（0）；
∴函数f（x）是奇函数．
（2）由①式及已知，得$\left\{\begin{array}{l}{f（a）+f（b）=1}\\{f（a）+f（-b）=2}\end{array}\right.$，
由（1）知函数f（x）是奇函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）+f（b）=1}\\{f（a）-f（b）=2}\end{array}\right.$；
解得$f（a）=\frac{3}{2}，f（b）=-\frac{1}{2}$．
（3）∵$f（-\frac{4}{5}）=1$，
∴$f（\frac{4}{5}）=-1$．
又∵$f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{2}}）=f（{\frac{4}{5}}）$，
∴$f（{\frac{1}{2}}）=-\frac{1}{2}$；
设-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}＜0$．
又由题设知，当-1＜x＜0时，f（x）＞0．
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{x_1}）+f（-{x_2}）=f（\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}）}}）＞0$，
∴f（x₁）＞f（-x₂），
∴f（x）在区间（-1，1）内为减函数；
于是有$f（{\frac{1}{2}}）≤f（x）≤f（{-\frac{1}{2}}）$．
f（x）在$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上的值域为$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$．

点评 本题考查抽象函数的应用及函数的性质的判断与应用，属于中档题．