Question

8．等差数列{a_n}前n项和为S_n且满足S₁₇＞0，S₁₈＜0，则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…$\frac{{S}_{17}}{{a}_{17}}$中最小项是（　　）

• A． $\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$
• B． $\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$
• C． $\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$
• D． $\frac{{S}_{11}}{{a}_{11}}$

Answer 1

分析 根据等差数列的性质，结合S₁₇＞0，S₁₈＜0，得到a₉＞0，a₁₀＜0，然后结合$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$的取值关系进行判断．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，S₁₇＞0，且S₁₈＜0，
即S₁₇=17a₉＞0，S₁₈=9（a₁₀+a₉）＜0，
∴a₁₀+a₉＜0，a₉＞0，∴a₁₀＜0，
∴等差数列{a_n}为递减数列，
故可知a₁，a₂，…，a₉为正，a₁₀，a₁₁…为负；
∴S₁，S₂，…，S₁₇为正，S₁₈，S₁₉，…为负，
则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$＞0，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$＞0，$\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$＞0，$\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$＜0，…$\frac{{S}_{17}}{{a}_{17}}$＜0，
又∵S₁＜S₂＜…＜S₉，a₁＞a₂＞…＞a₉，
∴$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…$\frac{{S}_{17}}{{a}_{17}}$中最小项是$\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$，
故选：C．

点评 本题主要考查等差数列性质的应用，根据条件判断a₉＞0，a₁₀＜0是解决本题的关键．