Question

13．在△ABC中，P是BC边中点，若$|{\overrightarrow{AB}}|\overrightarrow{AC}+|{\overrightarrow{BC}}|\overrightarrow{PA}+|{\overrightarrow{AC}}|\overrightarrow{PB}=\overrightarrow 0$，则△ABC的形状是（　　）

• A． 等边三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等腰三角形但不一定是等边三角形

Answer 1

分析 将$|{\overrightarrow{AB}}|\overrightarrow{AC}+|{\overrightarrow{BC}}|\overrightarrow{PA}+|{\overrightarrow{AC}}|\overrightarrow{PB}=\overrightarrow 0$转化为以$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$为基底的关系，即可得到答案．

解答 解：．设|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{BC}$|=a，|$\overrightarrow{AC}$|=b，则$|{\overrightarrow{AB}}|\overrightarrow{AC}+|{\overrightarrow{BC}}|\overrightarrow{PA}+|{\overrightarrow{AC}}|\overrightarrow{PB}=\overrightarrow 0$，即有：c$\overrightarrow{AC}$+a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{PA}$=-$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}$，
∴c$\overrightarrow{AC}$+a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$=c$\overrightarrow{AC}$-a$\overrightarrow{AP}$+b（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}$）=$\overrightarrow{0}$
即c$\overrightarrow{AC}$+b$\overrightarrow{AB}$-（a+b）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{0}$，
∵P是BC边中点，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴c$\overrightarrow{AC}$+b$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$（a+b）（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴c-$\frac{1}{2}$（a+b）=0且b-$\frac{1}{2}$（a+b）=0，
∴a=b=c．
故选：A．

点评 本题考查三角形的形状判断，突出考查向量的运算，考查化归思想与分析能力，属于中档题．