Question

3．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁作倾斜角为$\frac{π}{6}$的弦AB．求：
（1）AB的长；
（2）△F₂AB的周长．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；将直线的方程代入双曲线的方程，利用两点的距离公式求出|AB|．
（2）求出A，B的坐标，由两点的距离，即可得到△F₂AB的周长．

解答 解：（1）∵双曲线的左焦点为F₁（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程可设为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），代入方程x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得，8x²-4x-13=0，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{13}{8}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{\frac{1}{4}-4•（-\frac{13}{8}）}$=3；
（2）由于F₂（2，0），A（$\frac{1+3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3+3\sqrt{3}}{4}$），B（$\frac{1-3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{4}$），
则△F₂AB的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|=3+$\frac{3\sqrt{3}-1}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}+1}{4}$=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解决直线与圆锥曲线的弦长问题常将直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用弦长公式．