Question

12．如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（c，0），当$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{FB}$时，由b²=ac得其离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}-\frac{y^2}{{{b_1}^2}}$=1中，由b₁²=a₁c₁（c₁为黄金双曲线的半焦距）可推出“黄金双曲线”的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}-1}}{2}$

Answer 1

分析 利用b₁²=a₁c₁，可得关于离心率的方程，即可求出“黄金双曲线”的离心率．

解答 解：∵${b_1}^2={a_1}{c_1}$，∴${c_1}^2-{a_1}^2={a_1}{c_1}$，
∴$\frac{{{c_1}^2}}{{{a_1}^2}}-1=\frac{c_1}{a_1}∴{e^2}-e-1=0$，
∴$e=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查“黄金双曲线”的离心率，考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础．