Question

7．已知函数f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{1-k}{k}$（k≥0）．
（1）当k=2时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求得k=2的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）求出函数的导数，令导数大于0，可得增区间．令导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域．

解答 解：（1）当k=2时，f（x）=ln（1+x）-x-$\frac{1}{2}$，
导数f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1，
曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=-$\frac{1}{2}$，
切点为（1，ln2-$\frac{3}{2}$），
即有切线方程为y-（ln2-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即为y=-$\frac{1}{2}$x+ln2-1；
（2）f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$，x＞-1．
由f′（x）＞0解得-1＜x＜0，
由f′（x）＜0解得x＞0．
即有f（x）的增区间为（-1，0），减区间为（0，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，掌握导数的几何意义和正确求导是解题的关键．