Question

3．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，满足S_n，S_n+2，S_n+1为等差数列，则a₃等于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比是q，根据等差数列的定义、数列前n项和的定义、以及等比数列的通项公式化简条件，求出公比q，再由a₁=1求出a₃．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比是q，
∵S_n，S_n+2，S_n+1为等差数列，∴S_n+2-S_n=S_n+1-S_n+2，
则a_n+2+a_n+1=-a_n+2，
∴qa_n+1+a_n+1=-qa_n+1，解得q=$-\frac{1}{2}$，
∵a₁=1，∴a₃=1×$（-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查等差数列的定义、数列前n项和的定义、以及等比数列的通项公式的综合应用，属于中档题．