Question

10．已知函数f（x）=cos2x-4acosx-4a+7的最小值为g（a）．
（1）求g（a）的表达式．
（2）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，利用二次函数的性质分类讨论求得f（x）的最小值g（a）的解析式．
（2）结合函数g（a）的解析式，分类讨论求得g（a）的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=cos2x-4acosx-4a+7=2cos²x-4acosx-4a+6=2（cosx-a）²-2a²-4a+6，
当a＜-1时，f（x）的最小值g（a）=2（-1-a）²-2a²-4a+6=8；
当a∈[-1，1]时，f（x）的最小值g（a）=-2a²-4a+6；
当a＞1时，f（x）的最小值g（a）=-8a+8．
（2）由（1）可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{8，a＜-1}\\{-{2a}^{2}-4a+6，-1≤a≤1}\\{-8a+8，a＞1}\end{array}\right.$，
当-1＜a≤1时，g（a）=-2（a+1）²+8∈（0，8]．
当a＞1时，g（a）＜0．
综上可得，g（a）的最大值为8．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式，余弦函数的值域，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．