Question

7．在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2）、B（2，3）、C（-2，-1）．
（1）求证：角C为直角；
（2）已知点D在线段BC上，且$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，求线段AD的长度．

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直的条件，以及向量的坐标运算，即可证明；
（2）设点D的坐标为（x，y），由$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，得到关于x，y的方程组，解得即可，再根据向量模的运算，即可得到答案．

解答 解：（1）由题设知$\overrightarrow{AC}$=（1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（-4，-4），则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（-1）×（-4）+1×（-4）=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
故角C为直角． 
（2）设点D的坐标为（x，y），由$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，
求得（x-2，y-3）=3（-2-x，-1-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=-6-3x}\\{y=3=-3-3y}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
即点D的坐标为（-1，0），又点A（-1，-2），
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2），
所以AD=2．

点评 本题考查了向量的坐标运算以及向垂直和向量的模，属于基础题．