Question

18．已知函数f（x）=mx+$\frac{n}{x}$以（1，a）为切点的切线方程是3x+y-8=0．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）切线倾斜角α的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据切线方程能够求出切点（1，5），求f′（x）=m-$\frac{n}{{x}^{2}}$，从而根据切线斜率及切点在f（x）上可得到$\left\{\begin{array}{l}{m+n=5}\\{m-n=-3}\end{array}\right.$，解方程组即得m=1，n=4；
（Ⅱ）上面求出了m，n，从而得出f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，根据导数符号即可判断函数f（x）的单调性，从而求出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由f′（x）=$1-\frac{4}{{x}^{2}}$便知tanα=$1-\frac{4}{{x}^{2}}＜1$，结合正切函数的图象即可写出切线倾斜角α的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）切点（1，a）在切线3x+y-8=0上；
∴3+a-8=0；
∴a=5；
∴切点为（1，5）；
又f′（x）=m$-\frac{n}{{x}^{2}}$，切点在函数f（x）的图象上，切线方程斜率为k=-3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=5}\\{m-n=-3}\end{array}\right.$；
解得m=1，n=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f′（x）=\frac{（x+2）（x-2）}{{x}^{2}}$；
∴x＜-2时，f′（x）＞0，-2＜x＜0时，f′（x）＜0，0＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-2]，[2，+∞），单调减区间为（-2，0），（0，2）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，$f′（x）=1-\frac{4}{{x}^{2}}＜1$；
∴tanα＜1；
∴函数f（x）切线倾斜角α的取值范围是[$0，\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{2}，π$）．

点评 考查过f（x）上一点的切线的斜率和函数f（x）在该点处的导数的关系，以及根据导数符号求函数单调区间的方法，要熟悉正切函数的图象，要清楚直线倾斜角的范围．