Question

若关于x的方程

1

2

x2=ln(x2+1)+k有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

• A．(-∞，

  1

  2

  -ln2)
• B．（0，+∞）
• C．(

  1

  2

  -ln2，0]
• D．(

  1

  2

  -ln2，0)

Answer 1

分析：由题意可得当x＞0时，f（x）=

1

2

x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的图象有2个交点，当k=0时，满足条件；当f（x） 和
g（x）的图象在（0，+∞）上相切时，由f′（x）=g′（x）可得，x=1，此时，k=

1

2

-ln2，综上可得，实数k的
取值范围．

解答：解：∵关于x的方程

1

2

x2=ln(x2+1)+k有四个不相等的实根，
∴偶函数f（x）=

1

2

x² 和偶函数 g（x）=ln（x²+1）+k 的图象有4个交点，
故当x＞0时，f（x）=

1

2

x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的图象有2个交点，
由于函数g（x） 的图象经过定点（0，k），f（x）的图象过点（0，0），再由对数函数和幂函数的单调性特点可得，
当k=0时，f（x） 和 g（x）的图象在（0，+∞）上有3个交点．
当f（x） 和 g（x）的图象在（0，+∞）上相切时，由f′（x）=g′（x）可得 x=

2x

x2+1

，x=1，此时，k=

1

2

-ln2．
综上可得，实数k的取值范围是 (

1

2

-ln2 ， 0)，
故选D．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．