Question

已知f(x)=

2x+1

2x+1-a

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若关于x的方程k•f（x）=2^x在（0，1]上有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义可得f（x）=-f（-x），即f（x）+f（-x）=0，合理变形可求a；
（2）设任意的0＜x₁＜x₂，通过作差可判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，根据单调性的定义可作出判断；
（3）方程k•f（x）=2^x可化为：2（2^x）²-（k+2）•2^x-k=0，令2^x=t∈（1，2]，则可分离出参数k，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域；

解答：解：（1）∵f(x)=

2x+1

2x+1-a

是奇函数，
∴对定义域内的x，都有f（x）=-f（-x），
即f（x）+f（-x）=0，
则

2x+1

2x+1-a

+

2-x+1

2-x+1-a

=

(2-a)(2x+1+22x+1)

(2x+1-a)(2-a•2x)

=0，
∴a=2．
（2）f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
对任意的0＜x₁＜x₂、
f(x1)-f(x2)=

2x1+1

2x1+1-2

-

2x2+1

2x2+1-2

=

2x1-2x2

(2x1+1-2)(2x2+1-2)

＞0，
故f（x₁）＞f（x₂），即f（x）在（0，+∞）上的单调递减；
（3）方程k•f（x）=2^x可化为：2（2^x）²-（k+2）•2^x-k=0，
令2^x=t∈（1，2]，
于是2t²-（k+2）t-k=0，
则k=

2t2-2t

t+1

=2(t+1)+

4

t+1

-6，
又2(t+1)+

4

t+1

-6在（1，2]上单调递增，
∴2(t+1)+

4

t+1

-6的值域为(0，

4

3

]，
故0＜k≤

4

3

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力．