Question

3．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足：$|{\overrightarrow a}|=\frac{1}{2}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 做出图形，根据条件得出△OAC三边的关系，利用余弦定理求出cosA．

解答 解：∵设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，取AB的中点C，则$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$），
∵$|{\overrightarrow a}|=\frac{1}{2}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，
∴OA=OC=2AC，
∴cosA=$\frac{O{A}^{2}+A{C}^{2}-O{C}^{2}}{2OA•AC}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的几何意义，属于中档题．