Question

已知二项式(

x

-

2

3 x

)n的展开式的二项式系数和为128．
（1）求n的值；
（2）求该二项展开式的各项的系数和；
（3）求该二项展开式的一次项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据展开式的二项式系数和为2ⁿ=128，求得n的值．
（2）在二项式(

x

-

2

3 x

)n的展开式中，令x=1得，该二项展开式的各项系数和．
（3）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中展开式的一次项

解答： 解：（1）由题意2ⁿ=128，∴n=7．
（2）在二项式(

x

-

2

3 x

)n的展开式中，令x=1得，该二项展开式的各项系数和（1-2）⁷=-1．
3）设该二项展开式的第r+1项为T_r+1，则Tr+1=

C

r 7

x

7-r

2

•(-2)rx-

r

3

=(-2)r

C

r 7

x

21-5r

6

．
 令

21-5r

6

=1得r=3，可得 T4=(-2)3

C

3 7

x=-280x．
即所求一次项为-280x．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．