Question

菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，将ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=

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（1）求证：DE⊥AC；
（2）求证：直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证DE⊥AC，只需要证明AC⊥面BDE，即可得到结论；
（2）设M为BE中点，通过面面平行来证线面平行，关键证明面MFC∥面ADE．

解答： 证明：（1）设F为BD的中点，连接AF、CF，EF，
∵菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，
∴△ABD，△BCD为正三角形，
∴CF⊥BD，
∵平面ABD⊥平面CBD，
∴CF⊥面ABD，∴CF⊥AF，且CF=

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，
∵AE⊥平面ABD，且AE=

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，
∴AE=CF，AE∥CF，
即四边形AECF是正方形，则对角线AC⊥EF，
∵ABCD是菱形，∴AF⊥BD，
即BD⊥平面AECF，即BD⊥AC，
∴AC⊥面EFD，
∵DE?面EFD，
∴AC⊥DE；
（2）当M为BE中点，F为BD中点，∴MF∥DE，
又由（1）知，正方形AFCE，
∴CF∥AE，MF、CF?面MFC，MF∩CF=F，AE、ED?面ADE，AE∩ED=E，
∴面MFC∥面ADE，
∵CM?面MFC，∴CM∥平面ADE．

点评：本题考查空间直线垂直和线面平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理是解决本题的关键．