Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax-a（a∈R）．
（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（2）若a≤1，求函数的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据极值的定义，先对原函数求导数，然后令导函数等于0，求出方程的解，再根据极值的定义看在所求的点处能否取到极值，是极大值还是极小值．对于第二问，先对函数f（x）求导，然后求得f′（x）＞0，和f′（x）＜0的解，在这注意讨论a的取值．

解答： 解：（1）f（x）=

1

3

x3-x2-3x+3，所以f′（x）=x²-2x-3．
∴解x²-2x-3=0，得：x=-1或x=3，所以
x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0；
x∈（-1，3）时，f′（x）＜0；
x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0．
根据极值的定义知：x=-1时，f（x）取到极大值f（-1）=

14

3

；x=3时，f（x）取到极小值f（3）=-6．
（2）f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，∵a≤1，∴a-1≤0
∴若a-1=0，即a=1时f′（x）≥0，所以（-∞，+∞）是f（x）的单调增区间；
若a＜1时，解（x-1）²+a-1=0得：x=1±

1-a

，所以：
x∈（-∞，1-

1-a

）时，f′（x）＞0，∴（-∞，1-

1-a

）是f（x）的单调增区间；
x∈（1-

1-a

，1+

1-a

）时，f′（x）＜0，∴[1-

1-a

，1+

1-a

]是f（x）的单调减区间；
x∈（1+

1-a

，+∞）时，f′（x）＞0，∴（1+

1-a

，+∞）是f（x）的单调增区间．

点评：考查极值的定义，只要理解极值的定义，第一问不难解出．第二问要注意一下讨论a的取值．