Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=

3

，∠ABC=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C．
（Ⅱ）求直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角的正切值．
（Ⅲ）求点A到平面A₁BC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）先证明AB⊥AC，AB⊥AA₁，可得AB⊥平面ACC₁A₁，即可证明AB⊥A₁C．
（Ⅱ）直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角为∠BC₁A，即可求直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角的正切值．
（Ⅲ）利用等积变换，可求点A到平面A₁BC的距离．

解答： （Ⅰ）证明：∵△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=60°，
∴由正弦定理有

3

sin60°

=

1

sin∠ACB

，∴sin∠ACB=

1

2

，
又AB＜AC，∴∠ACB=30°．
从而∠BAC=90°，即AB⊥AC，
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∴AB⊥AA₁，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，∴AB⊥A₁C                         …（4分）
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面ACC₁A₁，
∴直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角为∠BC₁A，
在RtBC₁A中AB=1，AC₁=

AC2+AA12

=

6

，
∴tan∠BC₁A=

AB

AC1

=

6

6

 …（8分）
（Ⅲ）解：设点A到平面A₁BC的距离为h，则
△A₁BC中，A₁B=BC=2，A₁C=

6

，∴S_△A1BC=

1

2

•

6

•

5

=

30

2

，
∴由等体积可得

1

3

•

1

2

•1•

3

•

3

=

1

3

•

30

2

h，
∴h=

15

5

                                           …（12分）

点评：本题着重考查了直棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和线面所成角的定义及等积变换等知识，属于中档题．