Question

已知函数f（x）=

4x

4x+2

．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,函数的值

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=

4x

4x+2

+

2

4x+2

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推导出a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）=

n+1

2

．
（Ⅲ）由b_n=2ⁿ⁺¹•a_n=（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

4x

4x+2

，
∴f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4 4x

4 4x +2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=

4x

4x+2

+

2

4x+2

=1．
（Ⅱ）∵f（x）+f（1-x）=1，f（

1

2

）=

4 1 2

4 1 2 +2

=

1

2

，
∴a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）
=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…
=

n+1

2

，
∴an=

n+1

2

．
（Ⅲ）∵b_n=2ⁿ⁺¹•a_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=4+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查函数值的求法，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．