Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M（

3

2

，-

6

），求抛物线和双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点（

3

2

，-

6

），求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a²+b²=c²，求解即可．

解答： 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．
设抛物线方程为y²=4c•x，
∵抛物线过点（

3

2

，-

6

），∴6=4c•

3

2

．
∴c=1，故抛物线方程为y²=4x．
又双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1过点（

3

2

，-

6

），
∴

9

4a2

-

6

b2

=1．①
又a²+b²=c²=1．②
由①②可得a²=

1

4

或a²=9（舍）．
∴b²=

3

4

，
故双曲线方程为：4x²-

4y2

3

=1．

点评：本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．