Question

如图，在直四棱柱ANCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求证：D₁C⊥AC₁；
（2）求直线D₁C与平面A₁BD所成的角；
（3）求点C₁到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证D₁C⊥AC₁，需证D₁C⊥平面ADC₁即可；
（2）利用图形中两两垂直的线和题中所给的线段的大小，建立空间直角坐标系，利用向量的知识求出直线D₁C与平面A₁BD所成的角；
（3）求出点D₁到平面A₁BD的距离，即可求点C₁到平面A₁BD的距离．

解答： （1）证明：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接C₁D，∵DC=DD₁，
∴四边形DCC₁D₁是正方形．∴DC₁⊥D₁C．
又AD⊥DC，AD⊥DD₁，DC⊥DD₁=D，
∴AD⊥平面DCC₁D₁，D₁C?平面DCC₁D₁，
∴AD⊥D₁C．∵AD，DC₁?平面ADC₁，
且AD⊥DC=D，∴D₁C⊥平面ADC₁，
又AC₁?平面ADC₁，∴D₁C⊥AC₁．
（2）解：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，2，2），A₁（1，0，2）．
∴

DA1

=（1，0，2），

DB

=（1，1，0）．
设

n

=（x，y，z）为平面A₁BD的一个法向量，则

x+2z=0 x+y=0

取z=1，则

n

=（-2，2，1）．
设直线D₁C与平面A₁BD所成的角为α，则
∵

D1C

=（0，2，-2），
∴sinα=|

4-2

4+4+1 • 4+4

|=

2

6

，
∴直线D₁C与平面A₁BD所成的角为arcsin

2

6

；
（3）解：设点D₁到平面A₁BD的距离为h，则
△A₁BD中，A₁B=A₁D=

5

，BD=

2

，∴S_△A1BD=

1

2

•

2

•

3 2

2

=

3

2

；
∴由V_D1-A1BD=V_B-D1A1D，可得

1

3

•

3

2

h=

1

3

•

1

2

•2•1•1，∴h=

2

3

，
∴点C₁到平面A₁BD的距离为

2

3

+2•

2

6

．

点评：本题考查直线与平面的垂直，空间中直线与平面的位置关系，考查线面角，考查点面距离的计算，是中档题．