Question

已知数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{a_n}的前n项和S_n=nb_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

1

an(2bn+3)

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得b_n=1+2（n-1）=2n-1．数列{a_n}的前n项和Sn=2n2-n．由此能求出a_n=4n-3．
（Ⅱ）cn=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．…（2分）
∵数列{a_n}的前n项和S_n=nb_n，
∴Sn=2n2-n．
∴a₁=S₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3，
又a₁=1也适合上式，
∴a_n=4n-3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，…（8分）
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=

1

4

[(1-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+…+(

1

4n-3

-

1

4n+1

)]
=

1

4

(1-

1

4n+1

)=

n

4n+1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．