Question

已知△ABC的中线AD，BE交于K，AB=

3

，且K，D，C，E四点共圆，则CK=

 

．

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定

专题：选作题,矩阵和变换

分析：作△ABC的外接圆，延长CK交圆于点H，交AB于F，证明FK=HF=

1

3

CF，由相交弦定理，得BF×FA=CF×FH，求出CF，即可求出CK．

解答： 解：作△ABC的外接圆，延长CK交圆于点H，交AB于F，则∵K，D，C，E四点共圆，DE∥BA
∴∠BHC=∠BAC=∠DEC=∠DKC，
∴AK∥HB，
∴点K是CH的中点，即CK=KH，
又K是重心，
∴FK=HF=

1

3

CF，
由相交弦定理，得BF×FA=CF×FH，
∴

3

2

•

3

2

=

1

3

CF²，
∴CF=

3

2

，
∴CK=

2

3

•

3

2

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查圆內接多边形的性质与判定，考查三角形重心的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．