Question

已知抛物线P：x²=4y（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与P交于A，B两点，P的准线与y轴交于点C．
（Ⅰ）证明：直线CA与CB关于y轴对称；
（Ⅱ）当直线CB的倾斜角为45°时，求△ABC内切圆的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程为y=kx+1，代入抛物线方程x²=4y，得x²-4ky-4=0，由此能证明直线CA与CB关于y轴对称；
（Ⅱ）由题意知F（0，1），C（0，-1），当直线CB的倾斜角为45°时，其方程为y=x-1，代入抛物线方程，得（x-2）²=0，由此能求出直线AB的方程，设△ABC内切圆的圆心为（0，b）（0＜b＜1），半径为r，则r=1-b=

1+b

2

，求出b，r，即可求出△ABC内切圆的方程．

解答： （Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程为y=kx+1，
代入抛物线方程x²=4y，得x²-4ky-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
设直线CA，CB的斜率为k_CA，k_CB，
∴k_CA+k_CB=

kx1+2

x1

+

kx2+2

x2

=2k+

2(x1+x2)

x1x2

=0，
∴直线CA与CB关于y轴对称；
（Ⅱ）解：∵抛物线p：x²=4y（p＞0）的焦点为F，p的准线与y轴交于点C．
∴F（0，1），C（0，-1），
当直线CB的倾斜角为45°时，其方程为y=x-1，
代入抛物线方程，得（x-2）²=0，
于是点B（2，1），
又直线AB经过点F，其方程为y=1．
设△ABC内切圆的圆心为（0，b）（0＜b＜1），半径为r，则r=1-b=

1+b

2

，
∴b=3-2

2

，r=2（

2

-1），
∴△ABC内切圆的方程为x²+（y-3+2

2

）²=4（

2

-1）²．

点评：本题考查直线方程的求法，考查两直线关于y轴对称的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．