Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_n+1=S_n+

1

2

3ⁿ⁺²（n∈N^*），a₁=10．
（1）设b_n=a_n-3ⁿ⁺¹，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=n•b_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n-（n-1）2ⁿ的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得an+1=2an+3n+1，所以an+1-3n+2=2an+3n+1-3n+2=2an-2•3n+1，所以b_n+1=2b_n，n≥2，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=n•b_n=

1，n=1 -7n•2n-3，n≥2

，利用错位相减法能求出T_n-（n-1）2ⁿ的值．

解答： 解：（1）∵a_n+1=S_n+

1

2

3ⁿ⁺²（n∈N^*），
∴a_n=S_n-1+

1

2

3ⁿ⁺¹（n≥2），
两式相减，得an+1-an=an+

1

2

•3n+2-

1

2

•3n+1，
整理，得an+1=2an+3n+1，
∴an+1-3n+2=2an+3n+1-3n+2=2an-2•3n+1，
∵b_n=a_n-3ⁿ⁺¹，∴b_n+1=2b_n，n≥2，
∵a₁=10，∴b₁=a₁-9=1，
b2=a2-27=a1+

27

2

-27=-

7

2

，
∴bn=

-7•2n-3，n≥2 1，n=1

．
（2）c_n=n•b_n=

1，n=1 -7n•2n-3，n≥2

，
∴Tn=1+(-7)(2•2-1+3•20+…+n•2n-3)，①
2T_n=2+（-7）（2•2⁰+3•2+…+n•2^n-2），②
①-②，得：-T_n=-1+（-7）（2•2^-1+2⁰+2+…+2^n-3-n•2^n-2）
=-1+（-7）（1+

1-2n-2

1-2

-n•2n-2）
∴T_n=1+7（1+2^n-2-1-n•2^n-2）=1+7（1-n）•2^n-2，
∴T_n-（n-1）2ⁿ=1-11（n-1）•2^n-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．