Question

如图，一块边长为10的正方形铁片，从它的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，把剩下的铁片做成一个没有盖子的盒子，求当x是多少时，盒子的容积最大．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：据题意先设小正方形边长为x，并求出x的范围，求出铁盒体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，求得此函数的最大值，求出此时盒子的底面边长．

解答： 解：设小正方形边长为x，铁盒体积为V．
∵10-2x＞0，∴0＜x＜5．
V=（10-2x）²•x=4x³-40x²+100x．
则V′=12x²-80x+100=4（3x-5）（x-5）．
由V′=0得，x=5或x=

5

3

，
当x∈(0，

5

3

)时，V′＞0，则V在(0，

5

3

)上单调递增，
当x∈(

5

3

，5)时，V′＜0，则V在(

5

3

，5)上单调递减，
∴x=

5

3

时，V_max=

500

27

，
∴盒子的底面边长是

5

3

时，盒子的容积最大是

500

27

．

点评：本题考查了方盒容积的求法，利用导数求方盒容积的最大值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．