Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的定义域和导数，利用函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，得到f′（x）≥0，即可求实数a的取值范围；
（2）求出函数的极值，利用函数f（x）有两个零点，建立条件关系即可得到结论．，

解答： 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-ax-(1-x)a

a2x2

+

1

x

=

a2x-a

a2x2

，
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=

a2x-a

a2x2

≥0恒成立，即a²x-a=a（ax-1）≥0恒成立，
若a＞0时，则等价为ax≥1，即a≥1，
若a＜0时，则等价为ax≤1，则a≤

1

x

，则a＜0，
综上所述：a∈（-∞，0）∪[1，+∞）．
（2）f′（x）=

-ax-(1-x)a

a2x2

+

1

x

=

a2x-a

a2x2

=

ax-1

ax2

，定义域为（0，+∞），
当a＜0时，ax²＜0，ax-1＜0，此时f′（x）=

ax-1

ax2

＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，不可能有两个零点．
当a＞0时，令f′（x）=

ax-1

ax2

=0，解得x=

1

a

，则f（x）在（0，

1

a

）上为减函数，
在（

1

a

，+∞）上为增函数，
即f（

1

a

）=

1- 1 a

a• 1 a

+ln

1

a

=1-

1

a

-lna＜0即可，
令g（a）=1-

1

a

-lna，则g′（a）=

1

a2

-

1

a

=

1-a

a2

=0，
解得a=1，即g（a）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
又g（1）=1-1-ln1=0，则1-

1

a

-lna＜0等价为a∈（0，1）∪（1，+∞）．
综上所述：a∈（0，1）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．综合性较强，难度较大．