Question

已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N⁺，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
（2）借助于错位相减法求出T_n的表达式；

解答： 解：（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），知{a_n}为等差数列，设等差数列的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程组

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，
解得

d=3 q=2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ．
（2）由（Ⅰ）知a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
则T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①；
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②．
由①-②得，-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6×(1-2n)

1-2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
所以T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题并考查计算能力．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．