Question

已知函数f（x）=3^x，且f（x+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）在区间[0，1]的单调性；
（3）求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=3^x，f（x+2）=18，得3^a=2，从而g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，
（2）设0≤x₁≤x₂≤1，由2x1-2x2＜0，2x1+2x2＞1，得1-(2x1+2x2)＜0，从而g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），得函数g（x）在[0，1]单调递减．
（3）由（2）可知，函数g（x）在[0，1]单调递减，得g（1）≤g（x）≤g（0），又g（0）=-4⁰+2⁰=0，g（1）=-4¹+2¹=-2，进而函数g（x）的值域是[-2，0]．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，f（x+2）=18，
∴3^a+2=18，
∴3^a=2，
∵g（x）=3^ax-4^x，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，
（2）设0≤x₁≤x₂≤1，
g(x1)-g(x2)=(2x1-4x1)-(2x2-4x2)=(2x1-2x2)+(4x2-4x1)
=(2x1-2x2)[1-(2x1+2x2)]，
∵0≤x₁≤x₂≤1，
∴2x1-2x2＜0，2x1+2x2＞1，
∴1-(2x1+2x2)＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g（x）在[0，1]单调递减．
（3）由（2）可知，函数g（x）在[0，1]单调递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），
又∵g（0）=-4⁰+2⁰=0，g（1）=-4¹+2¹=-2，
∴函数g（x）的值域是[-2，0]．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的值域及解析式问题，是一道综合题．