Question

已知函数f（x）=2sin2xcos²

φ

2

+cos2xsinφ-sin2x（0＜φ＜π）图象的一条对称轴为x=

π

3

．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[-

π

3

，

π

6

]使得|f（x₀）-m|≤

1

2

成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）已知函数g（x）=|f（

ωx

2

-

5π

12

）|+|cosωx|在区间[0，1]上恰有50次取到最大值，求正数ω的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）奇函数f（x）进行化简，利用函数的对称轴，建立方程关系，即可求φ的值；
（Ⅱ）将不等式|f（x₀）-m|≤

1

2

进行转化，求出不等式的等价条件，即可求实数m的取值范围；
（Ⅲ）将函数g（x）进行化简，根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）Ⅰ）f（x）=2sin2xcos²

φ

2

+cos2xsinφ-sin2x=sin（2x+φ），
∵0＜φ＜π，图象的一条对称轴为x=

π

3

，
∴2×

π

3

+φ=kπ+

π

2

，解得φ=kπ-

π

6

，
∵0＜φ＜π，
∴当k=1时，φ=π-

π

6

=

5π

6

．
即f（x）=sin（2x+

5π

6

）．
（II）由|f（x₀）-m|≤

1

2

得-

1

2

≤f（x₀）-m≤

1

2

，即f（x₀）-

1

2

≤m≤f（x₀）+

1

2

，
∵x₀∈[-

π

3

，

π

6

]，∴

π

6

≤2x₀+

5π

6

≤

7π

6

，
即-

1

2

≤sinx（2x₀+

5π

6

）≤1，
∴若存在x₀∈[-

π

3

，

π

6

]使得|f（x₀）-m|≤

1

2

成立，
则-1≤m≤

3

2

．
（III）g（x）=|f（

ωx

2

-

5π

12

）|+|cosωx|=|sinωx|+|cosωx|=

(|sinωx|+|cosωx|)2

=

1+|sin2ωx|

，
若g（x）取得最大值，则|sin2ωx|=1，等价于y=|sin2ωx|在[0，1]上恰有50次取到最大值1，
由y=|sin2ωx|的最小正周期T=

π

2ω

，
由此可得49•

π

2ω

+

π

4ω

≤1＜50•

π

2ω

+

π

4ω

，
解得

99π

4

≤ω＜

101π

4

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的关系式进行化简是解决本题的关键．