Question

若原点O和点F（-2，0）分别为双曲线

x2

a2

-y²=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求

OP

•

FP

的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示

OP

•

FP

，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得

OP

•

FP

的取值范围．

解答： 解：设P（m，n），则

OP

•

FP

=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²．
∵F（-2，0）分别是双曲线

x2

a2

-y²=1（a＞0）的左焦点，
∴a²+1=4，∴a²=3，
∴双曲线方程为

x2

3

-y2=1，
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴

m2

3

-n2=1(m≥

3

)，
∴n²=

m2

3

-1，
∵

OP

•

FP

=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²，
∴m²+2m+n²=m²+2m+

m2

3

-1=

4

3

m2+2m-1
∵m≥

3

，
∴函数在[

3

，+∞）上单调递增，
∴m²+2m+n²≥3+2

3

，
∴

OP

•

FP

的取值范围为[3+2

3

，+∞）．

点评：本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．