Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

1

anan+1

+2a_n-1，（n∈N^*）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得2a_n=2S_n-2S_n-1=2n，从而得到a_n=n（n≥2），又n=1时，a₁=1适合上式．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=

1

anan+1

+2a_n-1=（

1

n

-

1

n+1

）+（2n-1），由此能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=n²+n，
n≥2时，2S_n-1=（n-1）²+（n-1），…（2分）
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=2n∴a_n=n（n≥2）…（4分）
又n=1时，a₁=1适合上式．
∴a_n=n…（6分）
(2)∵b n=

1

anan+1

+2an-1=

1

n(n+1)

+2n-1=(

1

n

-

1

n+1

)+(2n-1)…（8分）
∴Sn=[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]+(1+3+…+2n-1)…（10分）
=1-

1

n+1

+n2=n2+1-

1

n+1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．