Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+3．
（1）证明{a_n+3}是等比数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=

2

an+3

，c_n=b_n+1，求数列{nc_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3）．由等比数列的定义可得结论；
（2）易求b_n，nc_n，利用分组求和及错位相减法可求得T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3）．∵a₁+3=4，
∴{a_n+3}是等比数列，∴a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1-3．
（2）bn=

2

(2n+1-3)+3

=

1

2n

，ncn=n(

1

2n

+1)=

n

2n

+n，
Tn=(1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

)+（1+2+…+n），
令R_n=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

，
由错位相减法得：Rn=2-

n+2

2n

，
∴Tn=2-

n+2

2n

+

n(n+1)

2

．

点评：该题考查由递推式求数列通项、数列求和，考查学生的运算求解能力以及转化能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．