Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是正方形ABCD，PA=AB=2．
（1）求二面P-BD-A角的余弦值；
（2）求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC，BD，AC∩BD=O，连接PO，则∠AOP是二面P-BD-A角的平面角，可求二面P-BD-A角的余弦值；
（2）四棱锥P-ABCD可补成正方体，其对角线长为2

3

，是四棱锥P-ABCD的外接球的直径，即可求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答： 解：（1）连接AC，BD，AC∩BD=O，则AO⊥BD，
连接PO，则PO⊥BD，
∴∠AOP是二面P-BD-A角的平面角，
∵PA-2，OA=

2

，
∴PO=

6

，
∴cos∠AOP=

2

6

∴二面P-BD-A角的余弦值为

3

3

；
（2）四棱锥P-ABCD可补成正方体，其对角线长为2

3

，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的直径为2

3

，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4π•(

3

)2=12π．

点评：本题考查四棱锥P-ABCD的外接球的表面积，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．