Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{

bn

an

}是首项为1公比为2的等比数列，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出a_n=2n+1．
（Ⅱ）

bn

an

=2n-1，bn=an•2n-1=(2n+1)•2n-1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，
且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
∴

3a1+ 3×2 2 d+5a1+ 5×4 2 d=50 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

，…（2分）
解得

a1=3 d=2

…（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
∴a_n=2n+1…（6分）
（Ⅱ）∵{

bn

an

}是首项为1公比为2 的等比数列，
∴

bn

an

=2n-1，bn=an•2n-1=(2n+1)•2n-1…（7分）
∴Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)•2n-1①2Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n②…（9分）
两式相减得：
Tn=-3-2×

2(1-2n-1)

1-2

+(2n+1)•2n
=1+（2n-1）•2ⁿ…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．