Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

sin²x-

3

2

cos²x（x∈R）
（1）当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，求函数f（x）取得最大值时的值；
（2）设锐角△ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N^*，若向量

m

=（sinB，2），

n

=（-1，sinA），

n

⊥

m

，求c的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）将函数f（x）进行化简，利用三角函数的图象和性质，即可求出当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，求函数f（x）取得最大值时的值；
（2）根据向量垂直，建立方程关系即可得到结论．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

sin²x-

3

2

cos²x
=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵x∈[-

π

12

，

5π

12

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
即-

3

2

-1≤sin（2x-

π

6

）-1≤0，
∴当sin（2x-

π

6

）=1，即2x-

π

6

=

π

2

，得x=

π

3

，f（x）取得最大值；
（2）∵向量

m

=（sinB，2），

n

=（-1，sinA），

n

⊥

m

，
∴

n

•

m

=-sinB+2sinA=0，即-b+2a=0，b=2a，
∵a=1，∴b=2，
由余弦定理c²=1+4-2×1×2cosC=5-4cosC，
∵0＜C＜

π

2

，∴0＜cosC＜1，
∴1＜c²＜5，即1＜c＜

5

，
又∵c∈N^*，∴c=2，经检验符合三角形要求．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及利用余弦定理解三角形，要求熟练掌握相应的公式．