Question

13．已知函数f（x）=e^x+2x²-3x
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若存在x∈[1，3]，使得关于x的不等式f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解．
（2）由f（x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，分离参数可得$a≤\frac{{{e^x}+2{x^2}-3x}}{x}$，构造函数求出函数的g（x）的最值，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）由函数f（x）=e^x+2x²-3x，可得f（1）=e-1，f′（x）=e^x+4x-3，
∴f′（1）=e+1，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y-（e-1）=（e+1）（x-1），
即 y=（e+1）x-2．
（2）由f（x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，
∵存在x∈[1，3]，使得关于x的不等式f（x）≥ax成立，
∴等价为当x∈[1，3]，∴$a≤\frac{{{e^x}+2{x^2}-3x}}{x}$成立，
令 $g（x）=\frac{{{e^x}+2{x^2}-3x}}{x}$，
则$g'（x）=\frac{{（x-1）{e^x}+2{x^2}}}{x^2}$，
∵1≤x≤3，
∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，3]上单调递增，
∴g_min（x）=g（1）=e-1，g_max（x）=g（3）=$\frac{{e}^{3}+9}{3}$，
∴a的取值范围是a≤$\frac{{e}^{3}+9}{3}$．

点评 本题主要考查函数的切线的求解，以及存在性问题，求函数的导数，利用导数的几何意义以及函数最值与导数之间的关系是解决本题的关键．