Question

已知函数f(x)= (sinx-cosx).

(1)求它的定义域和值域;

(2)求它的单调区间;

(3)判断它的奇偶性;

(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期.

Answer 1

思路分析：对于(1)(2)可从sinx-cosx=sin(x-)入手.对于(3),则要看f(x)的定义域是否关于原点对称.对于(4)可利用f(x+T)=f(x)先验证T是一个周期,再证T是最小正周期.

解：(1)由题意得sinx-cosx＞0,

    即sin(x-)＞0.

    从而得2kπ＜x-＜2kπ+π,

∴函数f(x)的定义域为

(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).

∵0＜sin(x-)≤1,

∴0＜sinx-cosx≤,

    即有≤(sinx-cosx).

    故函数f(x)的值域是［-,+∞）.

(2)∵sinx-cosx=sin(x-)在f(x)的定义域上的单调递增区间为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z),

单调递减区间为［2kπ+,2kπ+）(k∈Z).

∴函数f(x)的单调递增区间是［2kπ+,2kπ+）(k∈Z),

    单调递减区间为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).

(3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,

∴函数f(x)是非奇非偶函数.

(4)∵f(x+2π)

=［sin(x+2π)-cos(x+2π)］

=(sinx-cosx)=f(x).

∴函数f(x)的最小正周期T=2π.