Question

如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC=3，点D在边BC上且BD=

1

2

DC，点P是线段AD上任一点，则

AP

•

CP

的取值范围是（　　）

• A、[-

  9

  20

  ，2]
• B、[-

  9

  16

  ，0]
• C、[

  9

  16

  ，2]
• D、[0，

  9

  20

  ]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，分别以AB，AC为x，y轴建立直角坐标系，根据B，C点的坐标以及BD=

1

2

DC，得到点D的坐标，设P（2y，y），则

AP

•

CP

=(2y，y)•(2y，y-3)=5y2-3y，利用二次函数求最值即可得到

AP

•

CP

的取值范围．

解答： 解：如图所示，分别以AB，AC为x，y轴建立直角坐标系，
则C（0，3），B（3，0）．
∵BD=

1

2

DC
∴D（2，1）．
又∵点P是线段AD上任一点，
∴可设P（2y，y），0≤y≤1．
则

AP

•

CP

=(2y，y)•(2y，y-3)=5y2-3y，
∵0≤y≤1．
∴-

9

20

≤5y2-3y≤2．
∴

AP

•

CP

∈[-

9

20

，2]．
即

AP

•

CP

的取值范围是[-

9

20

，2]．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，二次函数求最值等知识的综合应用，属于中档题．