Question

16．设正实数a，b，c及非负实数x，y满足条件a⁶+b⁶+c⁶=3，（x+1）²+y²≤2，求：I=$\frac{1}{2{a}^{3}x+{b}^{3}{y}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{3}x+{c}^{3}{y}^{2}}$$\frac{1}{2{c}^{3}x+{a}^{3}{y}^{2}}$的最小值，并论证之．

Answer 1

分析 利用柯西不等式，可得a³+b³+c³≤3，结合（x+1）²+y²≤2，2x+y²≤1-x²≤1，即可得出I=$\frac{1}{2{a}^{3}x+{b}^{3}{y}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{3}x+{c}^{3}{y}^{2}}$$\frac{1}{2{c}^{3}x+{a}^{3}{y}^{2}}$的最小值．

解答 解：由柯西不等式可得[（2a³x+b³y²）+（2b³x+c³y²）+（2c³x+a³y²）]I≥（1+1+1）²，
∴I≥$\frac{9}{2{a}^{3}x+{b}^{3}{y}^{2}+2{b}^{3}x+{c}^{3}{y}^{2}+2{c}^{3}x+{a}^{3}{y}^{2}}$=$\frac{9}{（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）（2x+{y}^{2}）}$，
∵（a³+b³+c³）²≤（a⁶+b⁶+c⁶）（1+1+1）=9，
∴a³+b³+c³≤3，
∵（x+1）²+y²≤2
∴2x+y²≤1-x²≤1，
∴I≥$\frac{9}{3×1}$=3，此时a=b=c=1，x=0，y=1，
∴I=$\frac{1}{2{a}^{3}x+{b}^{3}{y}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{3}x+{c}^{3}{y}^{2}}$$\frac{1}{2{c}^{3}x+{a}^{3}{y}^{2}}$的最小值为3．

点评 本题考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．