Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．
（1）证明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，

∵侧面BB1C1C为菱形，

∴BC1⊥B1C，

∵AO⊥平面BB1C1C，

∴AO⊥B1C，

∵AO∩BC1=O，

∴B1C⊥平面ABO，

∵AB平面ABO，

∴B1C⊥AB

（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，

∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD，

∴OH⊥BC，

∵OH⊥AD，BC∩AD=D，

∴OH⊥平面ABC，

∵∠CBB1=60°，

∴△CBB1为等边三角形，

∵BC=1，∴OD= ，

∵AC⊥AB1，∴OA= B1C= ，

由OHAD=ODOA，可得AD= = ，∴OH= ，

∵O为B1C的中点，

∴B1到平面ABC的距离为 ，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高 ．

【解析】（1）连接BC1 ， 则O为B1C与BC1的交点，证明B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1为等边三角形，求出B1到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行)．